Question

已知函数f(x)=ax-

b

x

-2lnx，f(1)=0．
（1）若函数f（x）在其定域义内为单调函数，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，且an+1=f′(

1

an+1

)-nan+1．
①若a₁≥3，求证：a_n≥n+2；
②若a₁=4，试比较

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

与

2

5

的大小，并说明你的理由．

Answer 1

分析：（1）根据函数单调性与导数的关系，f（x）在其定义域内为单调函数，在（0，+∞）内f′（x）恒大于0或恒小于0，转化为恒成立问题去解决．
（2）①根据导数的几何意义，f'（1）=0，求出a，确定f（x），f′（x）继而得出a_n+1的表达式，再用数学归纳法证明．
②在①的条件下，将各项适当放缩，再结合等比数列求和公式化简不等式左边，即可得出结论．

解答：解：（1）∵f（1）=a-b=0，∴a=b，∴f(x)=ax-

a

x

-2lnx，
∴f′（x）=a+

a

x2

-

2

x

．
要使函数f（x）在定义域（0，+∞）内为单调函数，则在（0，+∞）内f′（x）恒大于0或恒小于0，
当a=0时，f′（x）=-

2

x

＜0在（0，+∞）内恒成立；
当a＞0时，要使f′（x）=a（

1

x

-

1

a

）²+a-

1

a

＞0恒成立，则a-

1

a

＞0，解得a＞1，
当a＜0时，要使f′（x）=a（

1

x

-

1

a

）²+a-

1

a

＞＜0恒成立，则a-

1

a

＜0，解得a＜-1，
所以a的取值范围为a＞1或a＜-1或a=0．
（2）①∵函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，
∴f′（1）=0，即a+a-2=0，解得 a=1
∴f′（x）=（

1

x

-1）²，a_n+1=a_n²-na_n+1
下面用数学归纳法证明：
（Ⅰ）当n=1，a₁≥3=1+2，不等式成立；
（Ⅱ）假设当n=k时，不等式成立，即：a_k≥k+2，∴a_k-k≥2＞0，
∴a_k+1=a_k（a_k-k ）+1≥2（k+2）+1=（ k+3）+k+2＞k+3
也就是说，当n=k+1时，a_k+1≥（k+1）+2成立
根据（Ⅰ）（Ⅱ）对于所有n≥1，都有a_n≥n+2成立
②由①得a_n=a_n-1（a_n-1-2n+2）+1≥a_n-1[2（n-1）+2-2n+2]+1=2a_n-1+1，
于是a_n+1≥2（a_n-1+1）（n≥2），
所以a₂+1≥2（a₁+1），a₃+1≥2（a₂+1）…，a_n+1≥2（a_n-1+1）
累乘得：a_n+1≥2^n-1（a₁+1），则

1

1+an

≤

1

2n-1

•

1

1+a1

（n≥2），
所以

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

≤

1

1+a1

（1+

1

2

+…+

1

2n-1

）=

2

5

（1-

1

2n

）＜

2

5

．

点评：本题考查函数单调性与导数的关系，考查数学归纳法，考查等比数列求和，考查学生分析解决、转化、放缩，计算等能力与方法．是难题．