Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别是 (t是参数)和 (φ为参数).以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；

(2)射线OM：θ＝α与曲线C1的交点为O，P，与曲线C2的交点为O，Q，求|OP|·|OQ|的最大值.

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x，ρ＝2sin θ.（2）8

【解析】

(1)利用三种方程的转化方法，即可求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；

(2)由(1)可得C1的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，与直线θ=α联立可得：ρ=，即|OP|=，同理可得|OQ|=2sinα．求出|OP||OQ|=，在α∈[，]上单调递减，即可求|OP||OQ|的最大值．

(1)C1的普通方程为y2＝4x，C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.

(2)由(1)可得C1的极坐标方程为ρsin2θ＝4cos θ，与直线θ＝α联立可得：ρ＝，

即OP＝，

同理可得OQ＝2sin α.

所以|OP|·|OQ|＝＝，

令f(α)＝，

易知f(α)在α∈上单调递减，

所以(|OP|·|OQ|)max＝＝8.