Question

设数列{a_n}的通项公式为，数列{b_n}满足，（t∈R，n∈N^*）．
（1）试确定实数t的值，使得数列{b_n}为等差数列；
（2）当数列{b_n}为等差数列时，对每个正整数k，在a_k和a_k+1之间插入b_k个2，得到一个新数列{c_n}．设T_n是数列{c_n}的前n项和，试求满足T_m=2c_m+1的所有正整数m．

Answer 1

【答案】分析：（1）确定数列{b_n}的前3项，利用等差数列的定义，即可确定实数t的值；
（2）先确定c_m+1必是数列{a_n}中的某一项a_k+1，再分组求和，结合整除的性质，即可得到结论．
解答：解：（1）当n=1时，，得b₁=2t-4，
同理：n=2时，得b₂=16-4t；n=3时，得b₃=12-2t，则由b₁+b₃=2b₂，得t=3．…（2分）
而当t=3时，，得b_n=2n
由b_n+1-b_n=2，知此时数列{b_n}为等差数列．…（4分）
（2）由题意知，c₁=a₁=2，c₂=c₃=2，c₄=a₂=4，c₅=c₆=c₇=c₈=2，c₉=a₃=8，…
则当m=1时，T₁=2≠2c₂=4，不合题意，舍去；
当m=2时，T₂=c₁+c₂=4=2c₃，所以m=2成立； …（6分）
当m≥3时，若c_m+1=2，则T_m≠2c_m+1，不合题意，舍去；
从而c_m+1必是数列{a_n}中的某一项a_k+1，则
=（2+2²+2³+…+2^k）+2（b₁+b₂+b₃+…+b_k）=，…（9分）
又，
所以2^k+1+2k²+2k-2=2×2^k+1，即2^k-k²-k+1=0，
所以2^k+1=k²+k=k（k+1）
因为2^k+1（k∈N^*）为奇数，而k²+k=k（k+1）为偶数，所以上式无解．
即当m≥3时，T_m≠2c_m+1
综上所述，满足题意的正整数仅有m=2．…（12分）
点评：本题考查等差数列的判定，考查数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．