Question

【题目】已知椭圆E： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，直线x+y+ =0与椭圆E仅有一个公共点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）直线l被圆O：x2+y2=3所截得的弦长为3，且与椭圆E交于A、B两点，求△ABO面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，得 ，即 ，∴a2=2b2，

则椭圆方程为x2+2y2﹣2b2=0．

联立 ，消去y得， ，

由 ，解得：b2=1．

∴椭圆方程为：

（2）解：∵直线l被圆O：x2+y2=3所截得的弦长为3，

∴原点O到直线l的距离为 ．

①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=± ，代入椭圆 ，得y= ，

不妨设A（ ），B（ ），

则 ；

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，即kx﹣y+m=0，

由 ，得4m2=3k2+3．

联立 ，消去y得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．

，

∴|AB|= = = ．

设k2=t，

令y= ，则（4y﹣5）t2+（4y﹣6）t+y﹣1=0，

当y= 时，可得t= ，符合题意；

当y 时，由△=（4y﹣6）2﹣（4y﹣5）（4y﹣4）≥0，得y 且y ．

综上，y ．

∴当斜率存在时， = ．

综①②可知，△ABO面积的最大值为

【解析】（1）由椭圆的离心率可得a2=2b2 ， 得到椭圆方程x2+2y2﹣2b2=0，联立直线方程和椭圆方程，由判别式等于0求得b2 ， 则椭圆方程可求；（2）由直线l被圆O：x2+y2=3所截得的弦长为3，得到坐标原点到直线l的距离为 ，然后分直线l的斜率存在和不存在两种情况求△ABO面积，当直线l的斜率不存在时，直接求解，当直线l的斜率存在时，设出直线方程y=kx+m，由原点到直线的距离列式，把m用含有k的代数式表示，然后再由弦长公式求得弦长，换元后利用判别式法求得弦长的最大值，求出斜率存在时△ABO面积的最大值，最后比较得答案．