Question

已知函数：f（x）=asin2x+cos2x且f（

π

3

）=

3 -1

2

．
（1）求a的值和f（x）的最大值；
（2）求f（x）的单调减区间．

Answer 1

考点：三角函数的最值,正弦函数的单调性

专题：常规题型,三角函数的图像与性质

分析：（1）把x=

π

3

代入函数f（x）的解析式即可求得a值，然后把f（x）的解析式利用两角和的正弦公式化成标准形式求f）x）的最大值；（2）根据正弦函数的单调减区间求函数f（x）的单调减区间．

解答： 解：（1）∵f（

π

3

）=asin

2π

3

+cos

2π

3

=

3

2

a-

1

2

=

3 -1

2

．
∴a=1
f（x）=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

）
∴函数f（x）的最大值为

2

；
（2）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）
得：kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

（k∈Z）
∴函数f（x）的单调减区间为[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]．

点评：本题考查了求三角函数的最值和单调区间问题，解题的关键是把函数化成标准形式，然后根据正弦函数的最值和单调性求解．