【题目】已知函数,是的导数.
(Ⅰ)讨论不等式的解集;
(Ⅱ)当且时,若在恒成立,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)计算得,其有一个零点1,因此可对分类讨论研究另一个零点(如有)与1的大小关系,得出不等式的解集.
(Ⅱ)先求在上的最大值,由导数知识知最大值是和中的较大者,因此可比较两者大小(通过作差得,再构造新函数利用导数研究单调性可得最大值为),也可分类,由的单调性得时有,再由得出最终结论.
试题解析:
(Ⅰ)
当时,不等式的解集为
当时,,不等式的解集为
当时,,不等式的解集为
当时,,不等式的解集为
(Ⅱ)法一:当时,由得,当时,,单调递减,当时,,单调递增;是的较大者。,
令,,
所以是增函数,所以当时,,所以,所以.
恒成立等价于,
由单调递增以及,得
法二:当时,由得,当时,,单调递减,当时,,单调递增;
是的较大者。
由,由单调递增以及,得.
当时,,因为当时,单调递减,所以
,综上的范围是
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【题目】某厂生产一种机器的固定成本为0.5万元,但每生产100台,需要加可变成本(即另增加投入)0.25万元,市场对此产品的年求量为500台,销售的收入函数为(万元)(),其中是产品售出的数量(单位:百台).
(1)把利润表示为年产量的函数;
(2)年产量是多少时,工厂所得利润最大?
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【题目】如图1,在高为2的梯形中,,,,过、分别作,,垂足分别为、.已知,将梯形沿、
同侧折起,使得,,得空间几何体,如图2.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)求三棱锥的体积.
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【题目】 某个集团公司下属的甲、乙两个企业在2014年1月的产值都为a万元,甲企业每个月的产值与前一个月相比增加的产值相等,乙企业每个月的产值与前一个月相比增加的百分数相等,到2015年1月两个企业的产值再次相等.
(1)试比较2014年7月甲、乙两个企业产值的大小,并说明理由.
(2)甲企业为了提高产能,决定投入3.2万元买台仪器,并且从2015年2月1日起投入使用.从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为元(n∈N*),求前n天这台仪器的日平均耗资(含仪器的购置费),并求日平均耗资最小时使用的天数?
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【题目】在十九大会议上,党中央明确强调“坚持房子是用来住的……”,得到了各级政府及相关单位的积极响应.在济宁,随着济宁一中升学率的节节攀升,北湖校区附近的房价也在不断攀升,为满足广大人民群众的购房需求,一中北湖附近的一个楼盘开盘价已限定为每平米不超过7千元,每层每平米的价格(千元)与楼层之间符合一个二次函数的变化规律,期中一栋高33层的高层住宅最低销售价为底层(一楼)每平米6千元,最高价为第20层每平米7千元.
(1)根据以上信息写出这个二次函数的表达式及定义域.
(2)某单位考虑到职工子女去一中就学的实际需要,计划团购住房,尽力争取团购优惠政策,如果得到的优惠政策是在每套房总价的基础上减去20(千元)后,再以余款的九五折将建筑面积为95平米的房型出售给该单位职工,张某和李某分别选定了1楼和25楼,请你根据函数性质,比较张某和李某谁获得的优惠额度更大一些?这一优惠的额度为多少(千元)?(注:九五折--按原价的折为现价)(精确到0.001千元).
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【题目】已知椭圆的离心率,且圆经过椭圆C的上、下顶点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l与椭圆C相切,且与椭圆相交于M,N两点,证明:的面积为定值(O为坐标原点).
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