Question

6．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，ccosA+$\sqrt{3}$csinA-b-a=0．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c=1，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求sin（C-30°）=$\frac{1}{2}$，结合C的范围，利用正弦函数的性质可求C的值．
（Ⅱ）由余弦定理，基本不等式可求ab≤1，进而利用三角形面积公式即可得解．

解答 （本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由正弦定理，得$ccosA+\sqrt{3}csinA-b-a=0?sinCcosA+\sqrt{3}sinCsinA=sinB+sinA$，…（1分）
$?sinCcosA+\sqrt{3}sinCsinA=sin（C+A）+sinA$，…（2分）
$?\sqrt{3}sinC-cosC=1?sin（C-30°）=\frac{1}{2}$，…（4分）
?C-30°=30°，（150°舍去），
?C=60°．…（5分）
（Ⅱ）三角形的面积$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{3}}}{4}ab$，…（6分）
由余弦定理，得1=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab，…（8分）
又a²+b²≥2ab，
所以ab≤1，当且仅当a=b时等号成立．
所以，△ABC面积的最大值为$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．…（10分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．