Question

【题目】如图，多面体中，是正方形，，，，且，，、分别为棱、的中点．

（1）求证：平面；

（2）求平面和平面所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析，（2）

【解析】

（1）首先根据已知条件易证平面，从而得到，又根据得到平面，根据中位线得到，得到平面，根据，是中点，得到，再根据线面垂直的判定即可证明平面.

（2）以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，再代入二面角公式计算即可.

（1）因为，，

所以，即.

平面.

又因为平面，所以.

因为四边形是正方形，所以.

平面.

因为，四边形是正方形，所以.

又因为、分别为棱、的中点，所以.

所以平面.

又因为平面，所以.

因为，是中点，所以.

平面.

（2）以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，

如图所示：

则，，，，

所以，

平面的一个法向量为，

由，得，令，则.

由（1）可知平面

所以平面的一个法向量为，

设平面和平面所成锐二面角为，

则

所以平面和平面所成锐二面角的余弦值为．