Question

已知f(x)=2sin(x-

π

3

)cos(x-

π

3

)+2

3

cos2(x-

π

3

)-

3

．
（1）求f（x）的最大值及取得最大值时相应的x的值；
（2）若函数y=f（2x）-a在区间[0，

π

4

]上恰有两上零点x₁，x₂，求tan（x₁+x₂）的值．

Answer 1

分析：利用三角公式化简函数f（x）=2sin（2x-

π

3

）
（1）结合正弦函数的性质，把2x-

π

3

看成y=sinx中的“x“分别求解
（2）代入可得y=2sin（4x-

π

3

），换元 t=4x-

π

3

，从而可得 y=2sint，t∈[-

π

3

，

2π

3

]，结合正弦函数的图象可求

解答：解（1）cos(x-

π

3

)+2

3

cos2(x-

π

3

)-

3

=sin(2x-

2π

3

)+

3

[1+cos(2x-

2π

3

)]-

3

═sin（2x-120°）+

3

cos（2x-120°）=2sin（2x-60°）
（5分）
∴f（x）的最大值为2，此时2x-

π

3

=

π

2

+2kπ，k∈Z，即x=

5π

12

+kπ，k∈Z（7分）
（2）f(2x)=2sin(4x-

π

3

)
令t=4x-

π

3

，∵x∈[0，

π

4

]，∴t∈[-

π

3

，

2π

3

]
设t₁，t₂是函数y=2sint-a的两个相应零点（即t1=4x1-

π

3

，t2=4x2-

π

3

）
由y=2sint图象性质知t₁+t₂=π，即4x1-

π

3

+4x2-

π

3

=π（10分）
∴x1+x2=

π

4

+

π

6

，tan(x1+x2)=2+

3

（14分）

点评：本题综合考查了两角和与差的三角公式、二倍角公式、三角函数的最值（最值的求解一般是整体思想），利用正弦函数的图象求解值的问题，体现了函数中的数形结合的数学思想在解题中的运用．