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已知常数a、b都是正整数,函数f(x)=
x
bx+1
(x>0),数列{an}满足a1=a,
1
an+1
=f(
1
an
)
(n∈N*
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若a=8b,且等比数列{bn}同时满足:①b1=a1,b2=a5;②数列{bn}的每一项都是数列{an}中的某一项.试判断数列{bn}是有穷数列或是无穷数列,并简要说明理由;
(3)对问题(2)继续探究,若b2=am(m>1,m是常数),当m取何正整数时,数列{bn}是有穷数列;当m取何正整数时,数列{bn}是无穷数列,并说明理由.
分析:(1)由
1
an+1
=f(
1
an
)=
1
an
b
1
an
+1
=
1
an+b
可得an+1=an+b,,从而可证数列{an}是以b为公差的等差数列,进而可求通项
(2)当a=8b时,可得an=(n+7)b,则b1=8b,b2=12b,则有q=
3
2
,可求bn=8b•(
3
2
)n-1
,由b3=18b,b4=27b,b5=
81
2
b
可得b5∉{an
从而可判断
(3)由b2=(m+7)b,可得q=
m+7
8
,此时bn=8(
m+7
8
)n-1b

分别就进行讨论(i)当m=8k+1(k∈N)时,
m+7
8
=k+1
为正整数,(ii)当m=8k+5(k∈N)时,
m+7
8
=
2k+3
2
(iii)当m=8k+2,+3,+4,+6,+7,+8(k∈N)
解答:解:(1)∵
1
an+1
=f(
1
an
)=
1
an
b
1
an
+1
=
1
an+b

∴an+1=an+b,∴数列{an}是以b为公差的等差数列
∵a1=a,∴an=a+(n-1)b
(2)当a=8b时,an=(n+7)b
∴b1=8b,b2=12b,∴q=
3
2
,∴bn=8b•(
3
2
)n-1

∴b3=18b,b4=27b,b5=
81
2
b

显然,
81
2
不是整数,即b5∉{an},∴{bn}是项数最多为4的有穷数列
(3)∵b2=(m+7)b,∴q=
m+7
8
,此时bn=8(
m+7
8
)n-1b

i)当m=8k+1(k∈N)时,
m+7
8
=k+1
为正整数,
此时{bn}中每一项均为{an}中的项,∴{bn}为无穷数列;
ii)当m=8k+5(k∈N)时,
m+7
8
=
2k+3
2

此时当n=1,2,3,4,8(
2k+3
2
)n-1
为大于8的正整数,
但n=5时,8(
2k+3
2
)4
不是正整数,∴此时{bn}是项数最多为4的有穷数列;
iii)当m=8k+2,+3,+4,+6,+7,+8(k∈N)时,
此时
m+7
8
为分母是4或8的最简分数,
只有当n=1,2时,8(
2k+3
2
)n-1
才是大于8的正整数,
而当n≥3时,8(
2k+3
2
)n-1
均为分数,∵{bn}仅有两项,∴此时{bn}不能构成等比数列.
点评:本题主要考查了等差数列的及等比的项公式及数列知识的综合应用,解题的关键是考试具备一定的逻辑推理与计算的能力.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数y=x+
a
x
有如下性质:如果常数a>0,那么该函数在(0,
a
]上是减函数,在[
a
,+∞)上是增函数.
(Ⅰ)如果函数y=x+
2b
x
(x>0)的值域为[6,+∞),求b的值;
(Ⅱ)研究函数y=x2+
c
x2
(常数c>0)在定义域内的单调性,并说明理由;
(Ⅲ)对函数y=x+
a
x
和y=x2+
a
x2
(常数a>0)作出推广,使它们都是你所推广的函数的特例.研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必证明),并求函数F(x)=(x2+
1
x
n+(
1
x2
+x
n(n是正整数)在区间[
1
2
,2]上的最大值和最小值(可利用你的研究结论).

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知常数a、b都是正整数,函数数学公式(x>0),数列{an}满足a1=a,数学公式(n∈N*
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若a=8b,且等比数列{bn}同时满足:①b1=a1,b2=a5;②数列{bn}的每一项都是数列{an}中的某一项.试判断数列{bn}是有穷数列或是无穷数列,并简要说明理由;
(3)对问题(2)继续探究,若b2=am(m>1,m是常数),当m取何正整数时,数列{bn}是有穷数列;当m取何正整数时,数列{bn}是无穷数列,并说明理由.

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已知常数a、b、c都是实数,函数f(x)=+x2+bx+c的导函数为f′(x).

(1)设a=f′(2),b=f′(1),c=f′(0),求函数f(x)的解析式;

(2)如果方程f′(x)=0的两个实数根分别为γ、β,并且1<γ<β<2.问:是否存在正整数n0,使得|f′(n0)|≤?请说明理由.

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(1)设a=f′(2),b=f′(1),c=f′(0),求函数f(x)的解析式;

(2)如果方程f′(x)=0的两个实数根分别为γ、β,并且1<γ<β<2.问:是否存在正整数n0,使得|f′(n0)|≤?请说明理由.

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