Question

设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线交于P₁，P₂两点，已知|P₁P₂|=8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设m＞0，过点M（m，0）作方向向量为的直线与抛物线C相交于A，B两点，求使∠AFB为钝角时实数m的取值范围；
（3）①对给定的定点M（3，0），过M作直线与抛物线C相交于A，B两点，问是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切？若存在，请求出这条直线；若不存在，请说明理由．
②对M（m，0）（m＞0），过M作直线与抛物线C相交于A，B两点，问是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切？（只要求写出结论，不需用证明）

Answer 1

【答案】分析：（1）根据|P₁P₂|=8，可得2p=8，从而可得抛物线C的方程；
（2）直线方程代入y²=8x得一元二次方程，用坐标表示向量，利用∠AFB为钝角，可得，从而可得不等式，由此可求实数m的取值范围；
（3）①设过M所作直线方程为y=k（x-3）代入y²=8x，求出|AB|，设存在直线x=x满足条件，则可得对任意k恒成立，此时直线不存在；②对参数m讨论，可得结论．
解答：解：（1）由条件得2p=8，∴抛物线C的方程为y²=8x；…．（4分）
（2）直线方程为代入y²=8x得3x²-（6m+8）x+3m²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F（2，0），则，，
∴．…．（6分）
∵∠AFB为钝角，∴，∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂＜0，
即，
∴，…．（8分）
因此3m²-36m-4＜0，∴，
又由m＞0，则综上可得．…．（10分）
（3）①设过M所作直线方程为y=k（x-3）代入y²=8x得ky²-8y-24k=0，…．（11分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，
∴，∴AB中点，…．（12分）
∴．…．（13分）
设存在直线x=x满足条件，则，…．（14分）
∴对任意k恒成立，
∴无解，∴这样的直线不存在．  …．（16分）
②当m=2时，存在直线x=-2满足条件；…．（17分）
当m≠2且m＞0时，直线不存在．      …．（18分）
点评：本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，正确运用韦达定理是关键．