Question

18．在以直角坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C₁的方程是ρ=1，将C₁向上平移1个单位得到曲线C₂．
（Ⅰ）求曲线C₂的极坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C₁的切线交曲线C₂于不同两点M，N，切点为T，求|TM|•|TN|的取值范围．

Answer 1

分析 （I）曲线C₁的方程是ρ=1，即ρ²=1，利用ρ²=x²+y²，即可化为直角坐标方程：再向上平移1个单位得到曲线C₂：x²+（y-1）²=1，展开利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得到曲线C₂的极坐标方程．
（II）设T（cosθ，sinθ），θ∈（0，π）．切线的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ+tcosα}\\{y=sinθ+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），代入C₂的方程化为：t²+2t[cos（θ-α）-sinα]+1-2sinθ=0，利用|TM|•|TN|=|t₁t₂|及其三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（I）曲线C₁的方程是ρ=1，即ρ²=1，化为x²+y²=1，将C₁向上平移1个单位得到曲线C₂：x²+（y-1）²=1，展开为x²+y²-2y=0．
则曲线C₂的极坐标方程为ρ²-2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．
（II）设T（cosθ，sinθ），θ∈（0，π）．
切线的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ+tcosα}\\{y=sinθ+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），代入C₂的方程化为：t²+2t[cos（θ-α）-sinα]+1-2sinθ=0，
∴t₁t₂=1-2sinθ，
∴|TM|•|TN|=|t₁t₂|=|1-2sinθ|，
∵θ∈（0，π），∴|1-2sinθ|∈[0，1]，当θ=$\frac{π}{2}$时，|1-2sinθ|=1；当θ=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$时，|1-2sinθ|=0．∴
∴|TM|•|TN|的取值范围是[0，1]．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程的方法、直线参数方程的应用、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．