Question

已知O为坐标原点，平面向量

OA

=（

3

，-1），

OB

=（

1

2

，

3

2

）．
（1）证明：

OA

⊥

OB

；
（2）若点C为

OA

和

OB

夹角平分线上的点，且|

OC

|=4，求向量

OC

．

Answer 1

分析：（1）由向量

OA

和

OB

的坐标，求出

OA

•

OB

=0，利用两个向量垂直的条件可得

OA

⊥

OB

．
（2）设

OC

=（x，y），则易知直线OC的倾斜角等于15°，再由 x=4cos15°=4cos （45°-30°），y=4sin15°=4sin （45°-30°），利用两角和差的正弦、余弦公式
求出x、y的值，从而求得

OC

的坐标．

解答：解：（1）证明：∵平面向量

OA

=（

3

，-1），

OB

=（

1

2

，

3

2

），∴

OA

•

OB

=

3

×

1

2

+（-1）×

3

2

=0，
∴

OA

⊥

OB

．  
（2）设

OC

=（x，y），则易知

OC

所在的直线与x轴的夹角为15°，即直线OC的倾斜角等于15°．
再由|

OC

|=4 可得 x=4cos15°=4cos （45°-30°）=4（

2

2

×

3

2

+

2

2

×

1

2

）=

6

+

2

，
y=4sin15°=4sin （45°-30°）=4（

2

2

×

3

2

-

2

2

×

1

2

）=

6

-

2

，
故

OC

=（

6

+

2

，

6

-

2

）．

点评：本题主要考查两个向量垂直的条件，两个向量坐标形式的运算，两角和差的正弦、余弦公式的应用，属于中档题．