精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
4.已知数列{an}的前n项和Sn=$\frac{3}{2}$n2+$\frac{n}{2}$,数列{bn}满足b1=2且bn=2bn-1(n≥2,n∈N*).
(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)记cn=a${\;}_{{b}_{n}}$,数列{cn}的前n项和为Sn,集合A={n∈N*|Sn>6•2n+n2-8n},求集合A.

分析 (Ⅰ)通过Sn=$\frac{3}{2}$n2+$\frac{n}{2}$,当n≥2时利用an=Sn-Sn-1可知an=3n-1,且当n=1时也成立,从而an=3n-1;通过b1=2、bn=2bn-1可知${b}_{n}={2}^{n}$;
(Ⅱ)通过an=3n-1、${b}_{n}={2}^{n}$可知cn=3•2n-1,进而Sn=3•2n+1-n-6,从而问题转为求不等式3•2n+1-n-6>6•2n+n2-8n的整数解,计算即可.

解答 解:(Ⅰ)∵Sn=$\frac{3}{2}$n2+$\frac{n}{2}$,
∴当n=1时,a1=S1=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$=2,
当n≥2时,Sn-1=$\frac{3}{2}$(n-1)2+$\frac{n-1}{2}$,
∴an=Sn-Sn-1
=($\frac{3}{2}$n2+$\frac{n}{2}$)-[$\frac{3}{2}$(n-1)2+$\frac{n-1}{2}$]
=3n-1,
又∵a1=2满足an=3n-1,
∴数列{an}的通项an=3n-1;
∵b1=2、bn=2bn-1
∴数列{bn}的通项${b}_{n}={2}^{n}$;
(Ⅱ)∵an=3n-1,${b}_{n}={2}^{n}$,
∴cn=${a}_{{b}_{n}}$=3•2n-1,
∴Sn=3•$\frac{2(1-{2}^{n})}{1-2}$-n=3•2n+1-n-6,
∵Sn>6•2n+n2-8n,
即3•2n+1-n-6>6•2n+n2-8n,
化简得:n2-7n+6<0,
解得1<n<6,(n∈N*
∴A={2,3,4,5}.

点评 本题考查数列的通项和前n项和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

14.甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5个不同题目,选择题3个,判断题2个,甲、乙两人各抽一题.
(1)求甲、乙两人中有一个抽到选择题,另一个抽到判断题的概率是多少;
(2)求甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

15.已知α∈($\frac{π}{2}$,π),sinα=$\frac{3}{5}$,则tan(α+$\frac{3π}{4}$)=-7.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

12.已知函数f(x)=x2ex,e为自然对数的底数.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)证明:?x1,x2∈(-∞,0],f(x1)-f(x2)$≤\frac{4}{{e}^{2}}$;
(Ⅲ)当n≥2时,求证(n+1)•(en-1)<4(e-1)•n•en-1

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

19.如图,我们知道圆环是线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形,所以,圆环的面积S=π(R2-r2)=(R-r)×2π×$\frac{R+r}{2}$可以看作是以线段AB=R-r为宽,以AB的中心绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×$\frac{R+r}{2}$为长的矩形面积.请将上述想法拓展到空间,并解决下列问题:若将平面区域M={(x,y)|(x-2)2+y2≤1}绕y轴旋转一周,则所形成的旋转体的体积是4π2

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

9.函数f(x)=sin(2x+$\frac{π}{2}$)图象的对称轴方程可以为(  )
A.x=-$\frac{π}{4}$B.x=$\frac{π}{4}$C.x=$\frac{π}{8}$D.x=-$\frac{π}{2}$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

16.把正整数按“S”型排成了如图所示的三角形数表,第n行有n个数,对于第n行按从左往右的顺序依次标记第1列,第2列,…,第m列,(比如三角形数表中12在第5行第4列,18在第6行第3列),则三角形数表中2015在(  )
A.第63行第2列B.第62行第12列C.第64行第30列D.第64行第60列

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

13.下列4个命题,其中正确的命题序号为(  )
①|x+$\frac{1}{x}$|的最小值是2  ②$\frac{{x}^{2}+2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$的最小值是2  ③log2x+logx2的最小值是2   ④3x+3-x的最小值是2.
A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

14.已知tanα=2,tanβ=$\frac{1}{3}$,π<α<$\frac{3π}{2}$,0<β<π,则α-β的值为$\frac{5π}{4}$.

查看答案和解析>>

同步练习册答案