Question

4．已知数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{3}{2}$n²+$\frac{n}{2}$，数列{b_n}满足b₁=2且b_n=2b_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记c_n=a${\;}_{{b}_{n}}$，数列{c_n}的前n项和为S_n，集合A={n∈N^*|S_n＞6•2ⁿ+n²-8n}，求集合A．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过S_n=$\frac{3}{2}$n²+$\frac{n}{2}$，当n≥2时利用a_n=S_n-S_n-1可知a_n=3n-1，且当n=1时也成立，从而a_n=3n-1；通过b₁=2、b_n=2b_n-1可知${b}_{n}={2}^{n}$；
（Ⅱ）通过a_n=3n-1、${b}_{n}={2}^{n}$可知c_n=3•2ⁿ-1，进而S_n=3•2ⁿ⁺¹-n-6，从而问题转为求不等式3•2ⁿ⁺¹-n-6＞6•2ⁿ+n²-8n的整数解，计算即可．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=$\frac{3}{2}$n²+$\frac{n}{2}$，
∴当n=1时，a₁=S₁=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$=2，
当n≥2时，S_n-1=$\frac{3}{2}$（n-1）²+$\frac{n-1}{2}$，
∴a_n=S_n-S_n-1
=（$\frac{3}{2}$n²+$\frac{n}{2}$）-[$\frac{3}{2}$（n-1）²+$\frac{n-1}{2}$]
=3n-1，
又∵a₁=2满足a_n=3n-1，
∴数列{a_n}的通项a_n=3n-1；
∵b₁=2、b_n=2b_n-1，
∴数列{b_n}的通项${b}_{n}={2}^{n}$；
（Ⅱ）∵a_n=3n-1，${b}_{n}={2}^{n}$，
∴c_n=${a}_{{b}_{n}}$=3•2ⁿ-1，
∴S_n=3•$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n=3•2ⁿ⁺¹-n-6，
∵S_n＞6•2ⁿ+n²-8n，
即3•2ⁿ⁺¹-n-6＞6•2ⁿ+n²-8n，
化简得：n²-7n+6＜0，
解得1＜n＜6，（n∈N^*）
∴A={2，3，4，5}．

点评 本题考查数列的通项和前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．