Question

现有变换公式T：可把平面直角坐标系上的一点P（x，y）变换到这一平面上的一点P′（x′，y′）．
（1）若椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且焦距为，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2．求该椭圆C的标准方程，并求出其两个焦点F₁、F₂经变换公式T变换后得到的点F₁^′和F₂^′的坐标；
（2）若曲线M上一点P经变换公式T变换后得到的点P'与点P重合，则称点P是曲线M在变换T下的不动点．求（1）中的椭圆C在变换T下的所有不动点的坐标；
（3）在（2）的基础上，试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的椭圆和双曲线在变换T下的不动点的存在情况和个数．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据题a²-b²=2，a²+b²=4，联立方程组，求的a和b，则椭圆方程方程可得．根据椭圆的性质可气的焦点坐标，代入变换公式中即可求的点F₁^′和F₂^′的坐标．
（2）依题意设不动点P的坐标为（m，n）依题意则有m+n=m，求的m和n的关系代入椭圆方程中求的n和m，则不动点坐标可得．
（3）设曲线M在变换T下的不动点P（x，y）分情况看椭圆和双曲线时，先根据变换公式求的x和y的关系，代入椭圆或双曲线方程看方程得解．
解答：解：（1）依题意可知解得a²=3，b²=1
∴椭圆方程为，焦点坐标为F₁（，0），F₂（-，0）
依题意F₁^′的坐标为（，），F₂^′（-，-）
（2）依题意设不动点P的坐标为（m，n）依题意则有m+n=m，整理的m=3n，代入椭圆方程得
，解得n=，m=或n=-，m=-
∴不动点坐标为（，）（-，-）
（3）由（2）可知，曲线M在变换T下的不动点P（x，y）需满足
情形一：据题意，不妨设椭圆方程为（m＞0，n＞0），
则有．
因为m＞0，n＞0，所以恒成立，
因此椭圆在变换T下的不动点必定存在，且一定有2个不动点．
情形二：设双曲线方程为（mn＜0），
则有，因为mn＜0，
故当9n+m=0时，方程无解；
当9n+m≠0时，故要使不动点存在，则需，
因此，当且仅当时，双曲线在变换T下一定有2个不动点．否则不存在不动点．
进一步分类可知，
（i）当n＜0，m＞0时，．
即双曲线的焦点在
轴上时，需满足时，双曲线在变换
下一定有2个不动点．否则不存在不动点．
（ii）当n＞0，m＜0时，．
即双曲线的焦点在y轴上时，需满足时，双曲线在变换T下一定有2个不动点．否则不存在不动点．
点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．考查了学生对圆锥曲线知识的综合掌握．