Question

【题目】长方体中，F是AB的中点，直线平面，.

（Ⅰ）求长方体的体积；

（Ⅱ）求二面角的余弦值的大小.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）16；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）先证，再分别求出和的长度，根据体积公式计算即可；

（Ⅱ）以D为坐标原点，射线DA，DC，分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，利用向量法计算二面角的余弦值即可.

（1）连接BD，由平面，得，

又，所以平面，所以，

在矩形ABCD中，，，

∴，∴，∴，

同理，则四边形为正方形，则，

∴长方体体积；

（Ⅱ）以D为坐标原点，射线DA，DC，分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系（如图），则，，，，，，

连接AC，在矩形ABCD中，易得，又，所以平面，

则平面的法向量可取为，

而平面的法向量可取，

设二面角的大小为，则，

所以二面角的余弦值的大小为.