Question

（本小题满分12分）

某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室(如图所示)，ABCD是一块边长为50 m的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，其半径为40 m，矩形AGHM就是拟建的健身室，其中G、M分别在AB和AD上，H在   上。设矩形AGHM的面积为S，∠HCF=θ，请将S表示为θ的函数，并指出当点H在    的何处时，该健身室的面积最大，最大面积是多少？ 

Answer 1

（本小题满分12分）

某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室(如图所示)，ABCD是一块边长为50 m的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，其半径为40 m，矩形AGHM就是拟建的健身室，其中G、M分别在AB和AD上，H在   上。设矩形AGHM的面积为S，∠HCF=θ，请将S表示为θ的函数，并指出当点H在    的何处时，该健身室的面积最大，最大面积是多少？ 

分析：主要考查学生解决实际问题的能力及函数最值的求解 

解：延长GH交CD于N，则NH=40 sinθ,CN=40 cosθ 

∴HM=ND=50-40 cosθ,    AM=50-40 sinθ    …………………………2分

故S=(50-40 cosθ)(50-40 sinθ)                 …………………………3分

=100［25-20(sinθ+cosθ)+16sinθcosθ］(0≤θ≤) …………………………4分

令t=sinθ+cosθ=sin(θ+)              

则sinθcosθ=且t∈［1, ］          …………………………6分

∴S=100［25-20t+8(t²-1)］=800(t-)²+450    …………………………8分

又t∈［1, ］∴当t=1时，S_max=500 

此时sin(θ+)=1sin (θ+)=       …………………………10分

∵≤θ+≤π  ∴θ+=或π 

即θ=0或θ=                          …………………………12分