Question

5．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，分E，F，G别为PD，AB，CD的中点，PD⊥平面ABCD
（1）证明AC⊥PB
（2）证明：平面PBC∥平面EFG．

Answer 1

分析 （1）连结BD，推导出PD⊥AC，BD⊥AC，从而AC⊥平面PBD，由此能证明AC⊥PB．
（2）推导出GE∥平面PBC，GF∥平面PBC，由此能证明平面PBC∥平面EFG．

解答 证明：（1）连结BD，
∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，
∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
又PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD，
∵PB?平面PBD，∴AC⊥PB．
（2）∵G、E分别为CD、PD的中点，∴CE∥PC，
又GE?平面PBC，PC?平面PBC，
∴GE∥平面PBC，
在正方形ABCD中，G、F分别为CD、AB的中点，
∴GF∥BC，又GF?平面PBC，BC?平面PBC，
∴GF∥平面PBC，
∵GF∩GE=G，∴平面PBC∥平面EFG．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查面面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．