【题目】已知函数(
).
(1)讨论函数极值点的个数,并说明理由;
(2)若,
恒成立,求
的最大整数值.
【答案】(1)当时,
在
上没有极值点;当
时,
在
上有一个极值点.
(2)3.
【解析】试题分析:
(1)首先对函数求导,然后分类讨论可得当时,
在
上没有极值点;当
时,
在
上有一个极值点.
(2)结合题中所给的条件构造新函数(
),结合函数的性质可得实数
的最大整数值为3.
试题解析:
(1)的定义域为
,且
.
当时,
在
上恒成立,函数
在
上单调递减.
∴在
上没有极值点;
当时,令
得
;
列表
所以当时,
取得极小值.
综上,当时,
在
上没有极值点;
当时,
在
上有一个极值点.
(2)对,
恒成立等价于
对
恒成立,
设函数(
),则
(
),
令函数,则
(
),
当时,
,所以
在
上是增函数,
又,
,
所以存在,使得
,即
,
且当时,
,即
,故
在
在上单调递减;
当时,
,即
,故
在
上单调递增;
所以当时,
有最小值
,
由得
,即
,
所以,
所以,又
,所以实数
的最大整数值为3.
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【题目】给出下列命题:
①已知集合M满足M{1,2,3},且M中至少有一个奇数,这样的集合M有6个;
②已知函数f(x)= 的定义域是R,则实数a的取值范围是(﹣12,0);
③函数f(x)=loga(x﹣3)+1(a>0且a≠1)图象恒过定点(4,2);
④已知函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(3+t)=f(3﹣t),则f(1)>f(4)>f(3).
其中正确的命题序号是(写出所有正确命题的序号)
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【题目】已知椭圆:
的离心率为
,且过点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知椭圆的左焦点为,直线
与椭圆
交于不同两点
,
(
都在
轴上方),且
.
(ⅰ)若,求
的面积;
(ⅱ)直线是否恒过定点?若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
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【题目】菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒,以防止害虫的危害,但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药,食用时需要用清水清洗干净,下表是用清水(单位:千克)清洗该蔬菜1千克后,蔬菜上残留的农药
(单位:微克)的统计表:
(1)令,利用给出的参考数据求出
关于
的回归方程
.(
,
精确到0.1)
参考数据:,
,
其中,
(2)对于某种残留在蔬菜上的农药,当它的残留量不高于20微克时对人体无害,为了放心食用该蔬菜,请估计至少需用用多少千克的清水清洗1千克蔬菜?(精确到0.1,参考数据)
附:对于一组数据,
,…,
,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
,
.
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【题目】已知全集U=R,集合A={x|x<﹣2或3<x≤4},B={x|x2﹣2x﹣15≤0}.求:
(1)UA;
(2)A∪B;
(3)若C={x|x>a},且B∩C=B,求a的范围.
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【题目】某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生,按其数学成绩(均为整数)分成六组,
,…,
后得到如下部分频率分布直方图,观察图中的信息,回答下列问题:
(1)补全频率分布直方图;
(2)估计本次考试的数学平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)用分层抽样的方法在分数段为的学生成绩中抽取一个容量为6的样本,再从这6个样本中任取2人成绩,求至多有1人成绩在分数段
内的概率.
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【题目】如图,四棱柱中,
底面
,底面
是梯形,
,
,
.
(1)求证:平面平面
;
(2)在线段上是否存在一点
,使
平面
,若存在,请确定点
的位置;若不存在,请说明理由.
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【题目】2016年新高一学生入学后,为了了解新生学业水平,某区对新生进行了素质测查,随机抽取了50名学生的数学成绩(均低于100分),其相关数据统计如下:
分数段 | 频数 | 选择题≥24分 |
5 | 2 | |
10 | 4 | |
15 | 12 | |
10 | 6 | |
5 | 4 | |
5 | 5 |
(1)若全区高一新生有5000人,试估计成绩不低于60分的人数;
(2)根据表格数据试估计全区新生数学的平均成绩(同一分数段的数据取该区间的中点值作为代表,如区间的中点值为75);
(3)从成绩在中抽取选择题得分不低于24分的3名学生进行具体分析,求至少有2名学生成绩在
内的概率.
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【题目】已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求a的取值范围
(3)若x∈[t,t+2],试求y=f(x)的最小值.
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