Question

已知f（x）=log₄（4^x+1）-kx（k∈R）为偶函数．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）若函数f（x）与函数g（x）=log₄（-a•2^x-a）的图象有两个交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由 f（-x）=f（x），可得 2kx=log₄4^x，即4^x=4^2kx，可得2k=1，从而求得k的值．
（Ⅱ）由题意可得log₄（4^x+1）-kx=log₄（-a•2^x-a）有2个实数根，化简可得 （1+a）2^2x+a•2^x+1=0 有2个实数根．令t=2^x，则（1+a）t²+at+1=0 有2个正实数根，再利用二次函数的性质求得a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=log₄（4^x+1）-kx（k∈R）为偶函数，∴f（-x）=f（x），
即 log₄（4^-x+1）+kx=log₄（4^x+1）-kx，化简可得 2kx=log₄4^x，∴4^x=4^2kx，∴2k=1，∴k=

1

2

．
（Ⅱ）若函数f（x）与函数g（x）=log₄（-a•2^x-a）的图象有两个交点，
则方程log₄（4^x+1）-kx=log₄（-a•2^x-a）有2个实数根，即方程 log₄

4x+1

4kx

=log₄（-a•2^x-a）有2个实数根，
即

4x+1

2x

=-a•2^x-a 有2个实数根，即 4^x+1=-a•2^2x-a•2^x 有2个实数根，
即（1+a）2^2x+a•2^x+1=0 有2个实数根．
令t=2^x，则（1+a）t²+at+1=0 有2个正实数根，
∴

△=a2-4(1+a)＞0 t1+t2=- a a+1 ＞0 t1•t2= 1 a+1 ＞0

，求得-1＜a＜2-2

2

．

点评：本题主要考查对数函数的图象、性质的综合应用，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．