Question

若函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，且对于任意x∈R，有f（x+3）=-f（x），若f（1）=1，tanα=2，则f（2005sinαcosα）的值为

 

．

Answer 1

分析：把所求式子中的自变量的分母“1”看作sin²α+cos²α，然后分子分母都除以cos²α，化为关于tanα的式子，把tanα的值代入即可求出值，然后由已知的f（x+3）=-f（x）和函数为奇函数求出f（x）的周期为6，且令x=1，代入已知的f（x+3）=-f（x），f（1）=1求出f（4）的值，把所求式子的值除以6得到余数为4，得到所求式子与f（4）相等，进而求出所求式子的值．

解答：解：因为tanα=2，
则2005sinαcosα=

2005sinαcosα

sin2α+cos2α

=

2005tanα

tan2α+1

=802，
∵f（x+3）=-f（x），又函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（x+6）=f（x），且f（4）=-f（1）=-1，
则f（2005sinαcosα）=f（802）=f（6×133+4）=f（4）=-1．
故答案为：-1

点评：此题综合考查了三角函数的恒等变换及化简求值，函数的周期性及奇函数的性质．找出f（x）的周期及把所求式子化简是解本题的关键．