分析 根据二面角平面角的定义作出二面角的平面角,结合三角形的边角关系进行求解即可.
解答 解:由已知,直三棱柱的侧面均为正方形,
∵∠ADC1=90o,即AD⊥C1D.又CC1⊥平面ABC
∴AD⊥CC1.∴AD⊥侧面BC1,∴AD⊥BC,
∴D为BC的中点.
过C作CE⊥C1D于E,
∵平面ADC1⊥侧面BC1,
∴CE⊥平面ADC1.取AC1的中点F,连结CF,则CF⊥AC1.
连结EF,则EF⊥AC1(三垂线定理)
∴∠EFC是二面角D-AC1-C的平面角.
在Rt△EFC中,sin∠EFC=$\frac{CE}{CF}$.
∵BC=CC1=a
易求得 CE=$\frac{a}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}a}{5}$,CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$.
∴sin∠EFC=$\frac{CE}{CF}=\frac{\frac{a}{\sqrt{5}}}{\frac{\sqrt{2}a}{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$.
∴二面角D-AC1-C的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$.
点评 本题主要考查二面角的求解,根据二面角的定义作出二面角的平面角是解决本题的关键.综合考查学生的运算和推理能力.
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