Question

如图是表示以AB=4，BC=3的矩形ABCD为底面的长方体被一平面斜截所得的几何体，其中四边形EFGH为截面．已知AE=5，BF=8，CG=12．
（1）作出截面EFGH与底面ABCD的交线l；
（2）截面四边形EFGH是否为菱形？并证明你的结论；
（3）求DH的长．

Answer 1

解：（1）根据公里3，作HE与DA的交点P，作GF与CB的交点Q，则点Q是截面EFGH与底面ABCD，
故连PQ得直线l，它便是所求作，如下图：

（2）截面EFGH为菱形．
∵平面ABFE∥平面DCGH，且平面EFGH分别截平面ABFE与平面DCGH得直线EF与GH，∴EF∥GH．
同理，FG∥EH，∴四边形EFGH为平行四边形．
又∵EF²=AB²+（BF-AE）²=25，FG²=BC²+（CG-BF）²=25，∴EF=FG=5，
∴四边形EFGH为菱形．
（3）∵几何体是长方体被一平面斜截所得的，
∴AE+CG=BF+DH，把AE=5，BF=8，CG=12代入得，DH=9．
分析：（1）根据公里3分别作出两个平面的公共点，连接这两个点所成的直线，即是所求的直线；
（2）根据平面ABFE∥平面DCGH和面面平行的限制定理得EF∥GH，再由FG∥EH得四边形EFGH为平行四边形，由题意求出EF=FG，即证出结论；
（3）根据几何体的结构特征得AE+CG=BF+DH，代入数据求出DH的长．
点评：本题考查了简单几何体的结构特征，考查了面面平行性质定理的应用，利用勾股定理求线段的长度，利用公里3作两个平面的交线，考查了观察能力和空间想象能力．