Question

13．已知函数f（x）=$\frac{x-1}{1+x}$．
（1）求证：函数f（x）在区间（-1，+∞）上是增加的；
（2）设g（x）=f（2^x），求证：函数g（x）是奇函数；
（3）在（2）的前提下，若g（x-1）+g（3-2x）＜0，求实数x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）利用导数大于0，可得函数f（x）在区间（-1，+∞）上是增加的；
（2）设g（x）=f（2^x），利用奇函数的定义，证明函数g（x）是奇函数；
（3）在（2）的前提下，若g（x-1）+g（3-2x）＜0，可化为x-1＜2x-3，即可求实数x的取值集合．

解答 （1）证明：∵f（x）=$\frac{x-1}{1+x}$，
∴f′（x）=$\frac{x-1}{1+x}$=$\frac{2}{（1+x）^{2}}$＞0，
∴函数f（x）在区间（-1，+∞）上是增加的；
（2）证明：g（x）=f（2^x）=$\frac{{2}^{x}-1}{1+{2}^{x}}$，
∴g（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{1+{2}^{-x}}$=$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=-g（x），
∴函数g（x）是奇函数；
（3）解：∵函数g（x）是奇函数且是增加的，g（x-1）+g（3-2x）＜0，
∴g（x-1）＜g（2x-3），
∴x-1＜2x-3，
∴x＞2，
∴实数x的取值集合是{x|x＞2}．

点评 本题考查函数的单调性、奇偶性，考查学生的计算能力，属于中档题．