Question

13．若曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），（y≤0）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$且过点P（2$\sqrt{3}$，-1），曲线C₂：x²=4y，自曲线C₁上一点A作C₂的两条切线切点分别为B，C．
（Ⅰ）求曲线C₁的方程；
（Ⅱ）求S_△ABC的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设BC所在直线方程为y=kx+b，联立直线方程和抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B，C的横坐标的和与积，再分别写出过B，C的抛物线的切线方程，与抛物线方程联立后利用判别式等于0把斜率用点的横坐标表示，得到切线方程，联立两切线方程求出A的坐标，代入椭圆方程得到k，b的关系，再由弦长公式求出|BC|，由点到直线的距离公式求出A到BC的距离，代入面积公式，利用配方法求得S_△ABC的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由题意，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{12}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=16，b²=4，
∴曲线C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$（y≤0）；
（Ⅱ）设l_BC：y=kx+b，联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，得x²-4kx-4b=0．
则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，
AB：$y={k}_{1}（x-{x}_{1}）+\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$，代入x²=4y，得${x}^{2}-4{k}_{1}x+4{k}_{1}{x}_{1}-{{x}_{1}}^{2}=0$．
△=$16{{k}_{1}}^{2}-16{k}_{1}{x}_{1}+4{{x}_{1}}^{2}=0$，∴${k}_{1}=\frac{1}{2}{x}_{1}$，
则AB：$y=\frac{1}{2}{x}_{1}x-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$．
同理AC：$y=\frac{1}{2}{x}_{2}x-\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$，得A（$\frac{1}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}），\frac{1}{4}{x}_{1}{x}_{2}$）=（2k，-b），
∴$\frac{4{k}^{2}}{16}+\frac{{b}^{2}}{4}=1$，即k²+b²=4（0≤b≤2），
点A到BC的距离d=$\frac{|-2{k}^{2}-2b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，$|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{16{k}^{2}+16b}$，
|BC|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|•\frac{|-2{k}^{2}-2b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=$\sqrt{16{k}^{2}+16b}|{k}^{2}+b|=4（{k}^{2}+b）^{\frac{3}{2}}$=$4（4-{b}^{2}+b）^{\frac{3}{2}}=4[-（b-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{17}{4}]^{\frac{3}{2}}≤\frac{17\sqrt{17}}{2}$．
当b=$\frac{1}{2}$，k=$±\frac{\sqrt{15}}{2}$时取等号．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与抛物线的位置关系的应用，训练了学生灵活处理问题和解决问题的能力，该题灵活性强，运算量大，是高考试卷中的压轴题．