【题目】已知双曲线的离心率为,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.
(1)求双曲线C的方程;
(2)直线y=kx+m(k≠0, m≠0)与该双曲线C交于不同的两点C,D,且C,D两点都在以点A为圆心的同一圆上,求m的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】分析:(1)利用椭圆的离心率e=,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为,建立方程,求得几何量,即可求得双曲线方程;
(2)直线方程与双曲线方程联立,利用C、D两点都在以A为圆心的同一圆上,可设CD的中点为P,则AP⊥CD,结合直线垂直,即可求得m的取值范围.
详解:(1)-y2=1.
(2)消去y得,(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0,
由已知,1-3k2≠0且Δ=12(m2+1-3k2)>0m2+1>3k2.①
设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点P(x0,y0),
则x0==,y0=kx0+m=,
因为AP⊥CD,
所以kAP===-,
整理得3k2=4m+1.②
联立①②得m2-4m>0,
所以m<0或m>4,又3k2=4m+1>0,
所以m>-,因此-<m<0或m>4.
故m的取值范围为∪(4,+∞).
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【题目】已知标准方程下的椭圆的焦点在轴上,且经过点,它的一个焦点恰好与抛物线的焦点重合.椭圆的上顶点为,过点的直线交椭圆于两点,连接、,记直线的斜率分别为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求的值.
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【题目】已知曲线C: + =1,直线l: (t为参数)
(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.
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【题目】已知函数f(x)=Asin(x+ ),x∈R,且f( )= .
(1)求A的值;
(2)若f(θ)+f(﹣θ)= ,θ∈(0, ),求f( ﹣θ).
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【题目】如图,某学校准备修建一个面积为2400平方米的矩形活动场地(图中ABCD)的围栏,按照修建要求,中间用围墙EF隔开,使得ABEF为矩形,EFCD为正方形,设米,已知围墙(包括EF)的修建费用均为每米500元,设围墙(包括EF)的修建总费用为y元.
(1)求出y关于x的函数解析式及x的取值范围;
(2)当x为何值时,围墙(包括EF)的修建总费用y最小?并求出y的最小值.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知圆经过,,,三点,是线段上的动点,,是过点且互相垂直的两条直线,其中交轴于点,交圆于、两点.
(1)若,求直线的方程;
(2)若是使恒成立的最小正整数,求三角形的面积的最小值.
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【题目】下列说法中正确的有______
①平均数不受少数几个极端值的影响,中位数受样本中的每一个数据影响;
②抛掷两枚硬币,出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大
③用样本的频率分布估计总体分布的过程中,样本容量越大,估计越准确.
④向一个圆面内随机地投一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的,则该随机试验的数学模型是古典概型.
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