Question

（2003•海淀区一模）已知半圆x²+y²=4（y≥0），动圆与此半圆相切且与x轴相切
（Ⅰ）求动圆圆心轨迹，并画出轨迹图形
（Ⅱ）在所求轨迹曲线上求点P，使得点P与定点Q（0，6）的距离为5．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出动圆圆心坐标，分两圆外切和内切列式，整理后即可得到动圆圆心的轨迹；
（Ⅱ）设出动点P的坐标，由两点间的距离公式列式，然后讨论|x|＞2和|x|＜2两种情况求解P点的坐标．

解答：解：（I）设动圆圆心M（x，y）作MN⊥x轴于N
①若两圆外切，|MO|=|MN|+2，∴

x2+y2

=y+2
x²+y²=y²+4y+4，∴x²=4（y+1）（y＞0）．
②若两圆内切，|MO|=2-|MN|，∴

x2+y2

=2-y
x²+y²=y²-4y+4∴x²=-4（y-1）（y＞0）．
综上，动圆圆心的轨迹方程是x²=4（y+1）（y＞0）及x²=-4（y-1）（y＞0）
其图象为两条抛物线位于x轴上方的部分；作图如右：
（II）设点P坐标（x，y）
当|x|＞2时，|PQ|=

x2+(y-6)2

=

4(y+1)+y2-12y+36

=

y2-8y+40

=5
解得：y=3或5，∴点P坐标(±4，3)，(±2

6

，5)
当|x|＜2时，y∈（0，1]，|PQ|=

-4(y-1)+y2-12y+36

=5
解得：y=1或y=15（舍），进而求得x=0，∴点P坐标（0，1）
故点P坐标为(±4，3)，(±2

6

，5)；(0，1)．

点评：本题考查了抛物线的定义，考查了分类讨论的数学思想方法，考查了函数图形的作法，属中高档题．