Question

如图，在三棱拄中，侧面，已知AA₁=2,,

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）试在棱(不包含端点上确定一点的位置,使得；

(Ⅲ) 在（Ⅱ）的条件下,求二面角的平面角的正切值.

Answer 1

（Ⅰ） 见解析   （Ⅱ）为的中点  (Ⅲ)

解析:

（Ⅰ）因为侧面，故

 在△BC₁C中，

由余弦定理有

  故有 

  而     且平面

       ……4分

（Ⅱ）由

从而  且 故

 不妨设  ，则，则 

又  则

在直角三角形BEB₁中有   从而

故为的中点时， ……9分

 法二：以为原点为轴，设，则     

 由得    即

      

      化简整理得       或

     当时与重合不满足题意    当时为的中点

     故为的中点使 ……9分

 （Ⅲ）取的中点，的中点，的中点，的中点 连则，连则，连则 连则，且为矩形，又   故为所求二面角的平面角

在中，

 ……14分

法二：由已知， 所以二面角的平面角的大小为向量与的夹角

因为  

故  ……14分