Question

各项为正数的数列{a_n} 的前n项和为S_n，且满足：S_n=

1

4

an²+

1

2

an+

1

4

（n∈N^*）
（1）求a_n；
（2）设函数f（n）=

an(n为奇数) f( n 2 )，(n为偶数)

，c_n=f（2ⁿ+4（n∈N^*），求数列{c_n} 的前n项和T_n；
（3）设λ为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m、n、k，不等式S_m+S_n＞λS_k恒成立，求实数λ的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知可得S_n=

1

4

an²+

1

2

an+

1

4

（n∈N^*）从而导出，（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，而a_n为正数，所以a_n-a_n-1=2（n≥2），由此推出a_n的通项公式．
（2）先求出{c_n}的通项公式，然后利用等比数列求和公式求解即可，注意讨论n；
（3）根据不等式S_m+S_n＞λS_k恒成立，将参数λ分离出来，研究不等式另一侧的最值，又m+n=3k且m≠n，利用基本不等式即可求出最值，从而求出实数λ的最大值．

解答：解：（1）由S_n=

1

4

an²+

1

2

an+

1

4

（n∈N^*）…①
得n≥2时，S_n-1=

1

4

an-1²+

1

2

an-1+

1

4

（n∈N^*）…②
①-②化简可得，（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
又a_n＞0，所以当n≥2时，a_n-a_n-1=2
∴数列{a_n} 成等差数列，公差为2
又a1=S1=

1

4

a

2 1

 +

1

2

a1+

1

4

则a₁=1
∴a_n=2n-1
（2）由f（n）=

an(n为奇数) f( n 2 )，(n为偶数)

，
可得c₁=f（6）=f（3）=a₃=5
c₂=f（8）=f（4）=f（2）=f（1）=a₁=1
当n≥3时
c_n=f（2ⁿ+4）=f（2^n-1+2）=f（2^n-2+1）=2（2^n-1+1）-1=2^n-1+1
故当n≥3时
T_n=2ⁿ+n
∴Tn=

5        (n=1) 2n+n  (n≥2)

  （3）S_m+S_n＞λS_k⇒m²d²+n²d²＞c•k²d²⇒m²+n²＞λ•k²，λ＜

m2+n2

k2

恒成立．
又m+n=3k且m≠n，2(m2+n2)＞(m+n)2=9k2⇒

m2+n2

k2

＞

9

2

，
故λ≤

9

2

，即λ的最大值为

9

2

．

点评：本题考查数列的性质和应用，以及最值的研究，解题时要认真审题，注意计算能力的培养，属于中档题．