Question

已知扇形OAB的圆心角∠AOB=

π

3

，点P在圆弧

AB

上运动，且满足

OA

=x

OP

+y

OB

，则x+y的最大值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：由

OA

=x

OP

+y

OB

=(x+y)(

x

x+y

OP

+

y

x+y

OB

)=（x+y）

OC

，则P，B，C三点共线，C点是直线BP和OA的交点，所以x+y=

| OA |

| OC |

，并且由图形可以看出当C，A两点重合时x+y最大，最大为1．

解答： 解：如图，

OA

=x

OP

+y

OB

=(x+y)(

x

x+y

OP

+

y

x+y

OB

)；
设

OC

=

x

x+y

OP

+

y

x+y

OB

，∴x

OC

+y

OC

=x

OP

+y

OB

；
∴x(

OC

-

OP

)=y(

OB

-

OC

)，x

PC

=y

CB

，∵x≠0，∴

PC

=

y

x

CB

；
∴B，P，C三点共线，并且

OA

=(x+y)

OC

，∴C是BP延长线与OA延长线的交点；
x+y=

| OA |

| OC |

，由图形可以看出当C向A靠近时，x+y的值不断增大，当点C，A重合时，x+y达到最大值1；
即x+y的最大值为1．
故答案为：1．

点评：考查向量的减法运算，共线向量基本定理，并且可以得到三点共线的充要条件．