Question

12．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N*）
（1）数列{a_n+1}是等比数列．
（2）求通项公式a_n；
（3）设b_n=n，求{a_nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+1=2a_n+1两边同时加1可知a_n+1+1=2（a_n+1），进而可知数列{a_n+1}是以首项、公比均为2的等比数列；
（2）通过（1）可知a_n+1=2ⁿ，从而a_n=2ⁿ-1；
（3）通过（1）及b_n=n可知a_nb_n=n•2ⁿ-n，利用错位相减法计算可知S_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹，进而计算可得结论．

解答 解：（1）∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又∵a₁+1=1+1=2，
∴数列{a_n+1}是以首项、公比均为2的等比数列；
（2）由（1）可知a_n+1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1；
（3）由（1）及b_n=n可知a_nb_n=n•2ⁿ-n，
记S_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ，
∴2S_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
两式错位相减得：-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹
=-2-（n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=S_n-$\frac{n（n+1）}{2}$=2-$\frac{n（n+1）}{2}$+（n-1）•2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．