Question

【题目】已知函数f(x)＝x2＋2aln x.

(1)当a＝1时，求函数f′(x)的最小值；

(2)求函数f(x)的单调区间和极值．

Answer 1

【答案】(1)4.

(2) 函数f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)．函数f(x)有极小值f()＝－a＋2aln.

【解析】分析：首先求出函数的定义域，先保证函数的生存权，对于第一问，对函数求导，之后应用基本不等式求出的最小值，注意等号成立的条件；对于第二问求导，之后对参数的取值进行讨论，利用导数大于零，函数单调增，导数小于零，函数单调减，从而确定出函数的单调区间以及函数的极值.

详解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．

(1)当a＝1时，f′(x)＝2x＋≥2＝4，当且仅当2x＝，

即x＝1时等号成立，故函数f′(x)的最小值为4.

(2)f′(x)＝2x＋＝2(x＋)．

①当a≥0时，f′(x)＞0，因此f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，这时函数无极值；

②当a＜0时，f′(x)＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：

x	(0，)		(，＋∞)
f′(x)	－	0	＋
f(x)	减	极小值	增

因此函数f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)．且当x＝时，函数f(x)有极小值f()＝－a＋2aln.