Question

在△ABC中，A、B、C是三角形的三个内角，a、b、c是三个内角对应的三边．已知b²+c²=a²+bc．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若sinBcosC=

3

4

，试判断△ABC的形状．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：（Ⅰ）利用余弦定理 求得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，由 0＜A＜π，可得 A的值．
（Ⅱ） 根据sinBcosC=

3

4

，求出sin（2B+

π

3

）=0，再根据 

π

3

＜2B+

π

3

＜

5π

3

，求得B=

π

3

，从而△ABC 是等边三角形．

解答： 解：（Ⅰ）∵b²+c²=a²+bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
由 0＜A＜π，可得A=

π

3

．
（Ⅱ）∵sinBcosC=sinBcos（

2π

3

-B）=

3

4

-

1

2

sin（2B+

π

3

）=

3

4

，
∴sin（2B+

π

3

）=0，
又∵

π

3

＜2B+

π

3

＜

5π

3

，
∴2B+

π

3

=π，
∴B=

π

3

，
故△ABC为等边三角形．

点评：本题主要考查了余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，求出sin（2B+

π

3

）=0是解题的关键，属于中档题．