Question

17．已知函数f（x）=cos²ωx-$\sqrt{3}$sinωx•cosωx-$\frac{1}{2}$（0＜ω＜4），且f（$\frac{π}{3}$）=-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若在（-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$）内，函数y=f（x）+m有两个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=cos（2ωx+$\frac{π}{3}$），由f（$\frac{π}{3}$）=-1可得ω值，可得解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可作出函数f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）在（-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$）的图象，数形结合可得．

解答 解：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得
f（x）=cos²ωx-$\sqrt{3}$sinωx•cosωx-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$（1+cos2ωx）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$cos2ωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx
=cos（2ωx+$\frac{π}{3}$），
由f（$\frac{π}{3}$）=cos（$\frac{2π}{3}$ω+$\frac{π}{3}$）=-1
可得$\frac{2π}{3}$ω+$\frac{π}{3}$=2kπ+π，
∴ω=3k+1，k∈Z，
∵0＜ω＜4，∴ω=1
∴f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可作出函数f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）在（-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$）的图象，
函数y=f（x）+m有两个零点，只需f（x）图象与y=-m图象有两个交点，
由图象可知-1＜-m＜$\frac{1}{2}$，∴实数m的取值范围为：（-$\frac{1}{2}$，1）

点评 本题考查三角恒等变换，涉及三角函数的图象和性质，属中档题．