Question

6．已知函数f（x）=|x-m|+|x+$\frac{4}{m}$|（m＞0）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥4；
（Ⅱ）若f（2）＜5，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用绝对值的意义证得不等式f（x）≥4成立．
（Ⅱ）由f（2）＜5可得|2-m|+|2+$\frac{4}{m}$|＜5，即 $\left\{\begin{array}{l}{0＜m＜2}\\{2-m+2+\frac{4}{m}＜5}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{m≥2}\\{m-2+2+\frac{4}{m}＜5}\end{array}\right.$②．分别求得①②的解集，再取并集，即得所求．

解答 （Ⅰ）证明：∵函数f（x）=|x-m|+|x+$\frac{4}{m}$|≥|x+$\frac{4}{m}$-（x-m）|=|$\frac{4}{m}$+m|=$\frac{4}{m}$+m≥2$\sqrt{4}$=4，
当且即当$\frac{4}{m}$=m，即m=2时，取等号，∴f（x）≥4．
（Ⅱ）∵f（2）＜5，即|2-m|+|2+$\frac{4}{m}$|＜5，$\left\{\begin{array}{l}{0＜m＜2}\\{2-m+2+\frac{4}{m}＜5}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{m≥2}\\{m-2+2+\frac{4}{m}＜5}\end{array}\right.$②．
解①求得 $\frac{\sqrt{17}-1}{2}$＜m＜2；解②求得2≤m＜4，综上可得，不等式的解集为{m|$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$＜m＜4}．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，属于中档题．