Question

如图所示是函数f（x）=x³+bx²+3cx+d的大致图象，方程在x∈[-2，2]内有解，则m的取值范围是（ ）

A．
B．[-10，2]
C．[-10，-1]
D．

Answer 1

【答案】分析：先利用函数f（x）的图象，知函数过原点，且有两个极值点，即f（0）=0，f′（-2）=0，f′（3）=0，代入解析式即可解得b、c、d的值，再将方程在x∈[-2，2]内有解问题转化为求函数g（x）=x³-x²-x，的值域问题，利用导数求其在闭区间[-2，2]内的最值即可
解答：解：由函数f（x）的图象可知：f（0）=0，f′（-2）=0，f′（3）=0
∵f（x）=x³+bx²+3cx+d，f′（x）=3x²+2bx+3c
∴解得：b=-，c=-6，d=0
∴方程在x∈[-2，2]内有解，即方程x³-x²-x-m=0在x∈[-2，2]内有解，
即m=x³-x²-x在x∈[-2，2]内有解，
设g（x）=x³-x²-x，则g′（x）=3x²-2x-1=（x-1）（3x+1）
∴当x∈[-2，-]时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，当x∈[-，1]时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，当x∈[1，2]时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
而g（-2）=-10，g（-）=，g（1）=-1，g（2）=2
∴g（x）∈[-10，2]
即m∈[-10，2]
故选 B
点评：本题主要考查了导数与函数极值点之间的关系，利用导数求函数在闭区间上的最值的方法，将方程有解问题转化为函数值域问题中转化化归的思想方法