Question

求函数f（x）=2x³-6x²+1（x∈[-2，3]）的单调区间及最值．

Answer 1

分析：先求导数f′（x），在函数的定义域内解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得函数的单调区间，再根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，从而得到函数的最值．

解答：解：函数的定义域为x∈[-2，3]，f′（x）=6x²-12x=6x（x-2）…（2分）
令f′（x）=0 得点x₁=0，x₂=2…（4分）
点x₁=0，x₂=2把定义域分成三个小区间，下表讨论

	（-2，0）	0	（0，2）	2	（2，3）
y′	+	0	-	0	+
	↗	1	↘	-7	↗

…（6分）
所以，函数f（x）在区间[-2，0]，[2，3]单调递增，在区间[0，2]上单调递减．…（8分）
因为，f（0）=1，f（-2）=-39，f（2）=-7，f（3）=1…（10分）
当x=3或x=0时，取最大值为1，当x=-2时，取最小值为-39…（12分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性和利用导数求闭区间上函数的最值，属于中档题．