Question

已知点P（x，y）满足关于系式x²+y²-6x-4y+12=0．
求（1）

y

x

的最大值和最小值．
（2）x-y的最大值和最小值．
（3）x²+y²的最大值和最小值．
（4）若A（-1，0），B（1，0），求|PA|²+|PB|²的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）化简方程得（x-3）²+（y-2）²=1，表示以点C（3，2）为圆心、半径r=1的圆．设

y

x

=k即y=kx，可得直线y=kx与圆相切时斜率k取得最大值或最小值，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得

y

x

的最大、最小值．
（2）设x-y=b得直线y=x-b，观察图形可得直线y=x-b与圆切时，纵轴截距b取最大值或最小值，再利用点到直线的距离公式加以计算，可得x-y的最大值和最小值．
（3）由两点的距离公式，得OP²=x²+y²为圆上一点P与原点距离之平方．因此作出直线OC与圆交于M、N两点，由M、N到原点的距离分别达到最小、最大值，利用两点之间的距离公式加以计算，可得x²+y²的最大值和最小值．
（4）设P（x，y），利用两点的距离公式可得|PA|²+|PB|²=2（x²+y²）+2，再由（3）的结论即可算出|PA|²+|PB|²的最大值与最小值．

解答：解：（1）如图，方程x²+y²-6x-4y+12=0化简得（x-3）²+（y-2）²=1
表示以点C（3，2）为圆心，半径r=1的圆．
设

y

x

=k，即y=kx，
∵圆心（3，2）到y=kx的距离等于半径r时，直线y=kx与圆相切，
此时直线的斜率k取得最大值或最小值，
∴由

|3k-2|

k2+1

=1，解得k=

3± 3

4

．
所以k_max=

3+ 3

4

，k_min=

3- 3

4

，
即

y

x

的最大值为

3+ 3

4

，最小值为

3- 3

4

．
（2）设x-y=b，则y=x-b，当且仅当直线y=x-b与圆切时，纵轴截距b取最大值或最小值．
由点到直线的距离公式，得

|3-2-b|

1+1

=1，即b=1±

2

，
故（x-y）_max=1+

2

，（x-y）_min=1-

2

．
（3）∵OP²=x²+y²，为圆上一点P与原点距离之平方，
∴连结OC，直线OC与圆交于M、N两点，可知M到原点的距离最小，点N到原点的距离最大，
此时有OM=

x2+y2

=

13

-1，ON=

x2+y2

=

13

+1，
∴（x²+y²）_min=|OM|²=14-2

13

，（x²+y²）_max=|ON|²=14+2

13

．
（4）设P（x，y），可得
|PA|²+|PB|²=[（x+1）²+y²]+[（x-1）²+y²]=2（x²+y²）+2，
由（3）得（x²+y²）_min=14-2

13

，（x²+y²）_max=14+2

13

，
∴（|PA|²+|PB|²）_min=2（14-2

13

）+2=30-4

13

，
（|PA|²+|PB|²）_max=2（14+2

13

）+2=30+4

13

．

点评：本题着重考查了直线的基本量与基本形式、点到直线的距离公式、坐标平面内两点之间的距离公式和圆的标准方程及其应用等知识，属于中档题．