Question

已知函数．
（1）当0＜a＜b且f（a）=f（b）时，求证：ab＞1；
（2）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（a）=f（b），推得0＜a＜1＜b，且，再利用基本不等式即可得到结论．
（2）先假设存在满足条件的实数a，b，由于f（x）是绝对值函数，则分当a，b∈（0，1）时、a∈（0，1）且b∈[1，+∞）和a，b∈[1，+∞）时三种情况分析，即可得到正确结论．
解答：解：（1）f（a）=f（b）得，，得a=b（舍）或
∴，∴
∵a≠b，∴等号不可以成立，故ab＞1…..…（5分）
（2）不存在.，
①当a，b∈（0，1）时，在（0，1）上单调递减，可得
∴，得矛盾
②当a∈（0，1），b∈[1，+∞）时，显然1∈[a，b]，而f（1）=0，则0∈[a，b]矛盾
③当在（1，+∞）上单调递增，可得∴，a，b是方程的两个根，此方程无解； …（11分）
点评：本题主要考查绝对值函数的单调性、定义域和值域，同时还考查学生的分类讨论解决问题的能力．