Question

已知B、C是两个定点，|BC|=6，且△ABC的周长为16．
（1）求三角形顶点A的轨迹S的方程；
（2）设过点B与BC垂直的直线l交轨迹S于D、E两点，求线段DE的长度．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）取BC所在直线为x轴，BC中点为原点，建立如图所示坐标系，由题意可得AB+AC=10＞BC，故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，除去与x轴的交点，利用椭圆的定义和简单性质求出a、b 的值，即得顶点A的轨迹方程．
（2）求出D、E的纵坐标，即可求线段DE的长度．

解答： 解：（1）取BC所在直线为x轴，BC中点为原点，建立如图所示坐标系，
∵|BC|=6，且△ABC的周长等于16，
∴AB+AC=10＞BC，故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，除去与x轴的交点，
∴2a=10，c=3，
∴b=4，故顶点A的轨迹方程为

x2

25

+

y2

16

=1（y≠0）．
（2）由题意可知：B点坐标为（3，0）或（-3，0），则直线l的方程为x=±3，代入点A的轨迹方程，
得y=±

16

5

，∴|DE|=|y_D-y_E|=

32

5

．

点评：本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，注意轨迹方程中y≠0，这是解题的易错点．属于中档题．