Question

【题目】已知x，y∈R，m+n=7，f（x）=|x﹣1|﹣|x+1|．
（1）解不等式f（x）≥（m+n）x；
（2）设max{a，b}= ，求F=max{|x2﹣4y+m|，|y2﹣2x+n|}的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：不等式f（x）≥（m+n）x等价于|x﹣1|﹣|x+1|﹣7x≥0，

当x≤﹣1时，不等式可化为2﹣7x≥0，解得x≤ ，又x≤﹣1，故x≤﹣1；

当x≥1时，不等式可化为﹣2﹣7x≥0，解得x≤﹣ ，舍去；

当﹣1＜x＜1时，不等式可化为﹣2x﹣7x≥0，解得x≤0，又﹣1＜x＜1，故﹣1＜x≤0．

综上，不等式的解集为{x|x≤0}

（2）解：∵F=max{|x2﹣4y+m|，|y2﹣2x+n|}，

∴F≥|x2﹣4y+m|，F≥|y2﹣2x+n|，

两式相加得：2F≥|x2﹣4y+m|+|y2﹣2x+n|≥|x2+y2﹣2x﹣4y+7|=|（x﹣1）2+（y﹣2）2+2|≥2，

∴F≥1．当且仅当x=1，y=2时取得等号．

即F的最小值为1

【解析】（1）对x的范围进行讨论，去掉绝对值符号，转化为一元一次不等式解出；（2）将两式相加，利用绝对值不等式化简即可得出结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最值及其几何意义的相关知识，掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值．