Question

已知集合A={x|（x-2）（x-3a-1）＜0}，函数y=lg

2a-x

x-(a2+1)

的定义域为集合B．
（1）若4∉B，求实数a的取值范围；
（2）求使B⊆A的实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据真数大于0，由原题函数解析式列出不等式，变形后利用两数相除商为负，得到乘积为负，由基本不等式判断2a与a²+1的大小，根据B不是空集，确定出函数的定义域，即为集合B，根据4不属于B，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围；
（2）由集合A中的不等式（x-2）（x-3a-1）＜0知，对应方程的根为x₁=2，x₂=3a+1，根据B为A的子集及两集合中的不等式的端点大小关系列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围．

解答：解：（1）由

2a-x

x-(a2+1)

＞0，得到（x-2a）（x-a²-1）＜0，
∵2a≤a²+1且B非空，
∴B=（2a，a²+1），（a≠1），
∵4∉B，
∴4≤2a或a²+1≤4，
则a≥2或-

3

≤a＜1或1＜a≤

3

；
（2）由（x-2）（x-3a-1）＜0知，对应方程的根为x₁=2，x₂=3a+1，
∵B⊆A，∴

2≤2a a2+1≤3a+1 2＜3a+1

或

3a+1＜2 3a+1≤2a a2+1≤2

，
则a的范围为1＜a≤3或a=-1．

点评：此题考查了一元二次不等式的解法，集合包含关系的判断及应用，以及函数定义域及求法，是一道中档题．