Question

如图，AB是圆柱体OO′的一条母线，BC过底面圆的圆心O，D是圆O上不与点B，C重合的任意一点，已知棱AB=5，BC=5，CD=3．
（1）求直线AC与平面ABD所成的角的大小；
（2）将四面体ABCD绕母线AB转动一周，求△ACD的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．

Answer 1

分析：（1）欲求直线AC与平面ABD所成的角，先证出CD⊥平面ABD，从而得出∠CAD为直线AC与平面ABD所成的角，最后在Rt△ADC中，求解即可；
（2）由题意可知，所求体积是两个圆锥体的体积之差，只须分别求出这两个锥体的体积后求它们的差即得．

解答：解：（1）因为点D以BC径的圆上，所以BD⊥DC（2分）
因为AB⊥平面BDC，DC?平面BDC，所以AB⊥DC，
从而有CD⊥平面ABD（4分）
所以∠CAD为直线AC与平面ABD所成的角，在Rt△ADC中，sin∠CAD=

CD

AC

=

3

50

=

3 2

10

，所以∠CAD=arcsin

3 2

10

，
即直线AC与平面ABD所成的角为arcsin

3 2

10

．（6分）
（2）由题意可知，所求体积是两个圆锥体的体积之差，
V=V圆锥ABC-V圆锥ABD=

1

3

π?52?5-

1

3

π?42?5=

125π

3

-

80π

3

=15π
故所求体积为15π（14分）

点评：本题主要考查了直线与平面之间所成角、棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．