Question

设，，其中是常数，且．
（1）求函数的极值；
（2）证明：对任意正数，存在正数，使不等式成立；
（3）设，且，证明：对任意正数都有：．

Answer 1

（1）当时，取极大值，但没有极小值（2）见解析（3）见解析

（1）∵， -----------------1分
由得，，
∴，即，解得，-----------------3分
故当时，；当时，；
∴当时，取极大值，但没有极小值．-----------------4分
（2）∵，
又当时，令，则，
故，
因此原不等式化为，即， -----------------6分
令，则，
由得：，解得，
当时，；当时，．
故当时，取最小值，-----------------8分
令，则．
故，即．
因此，存在正数，使原不等式成立．-----------------10分
（3）对任意正数，存在实数使，，
则，，
原不等式，
-----------------14分
由（1）恒成立，
故，
取，
即得，
即，故所证不等式成立． -----------------14分