Question

已知a＞0，函数f（x）=ln（2-x）+ax．
（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为l，若l与圆（x+1）²+y²=1相切，求a的值．

Answer 1

分析：（1）先对函数进行求导，根据导函数大于0原函数单调递增，导函数小于0原函数单调递减可得答案．
（2）欲求在点（1，f（1））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率． 最后利用点到直线的距离公式，从而问题解决．

解答：解：（1）解：函数f（x）=ln（2-x）+ax的定义域为（-∞，2）
函数的导函数为y′=

1

x-2

+a，
要求函数的单调递增区间即是求出y′＞0即可，
y′=

1

x-2

+a＞0，解得x＜2-

1

a

，
可知函数f（x）=ln（2-x）+ax的单调递增区间为(-∞，2-

1

a

)，
同理得：函数f（x）=ln（2-x）+ax的单调递减区间(2-

1

a

，2)．
（2）由于f/(x)=

1

x-2

+a，
l的方程为（a-1）x-y+1=0     
由点到直线的距离公式得：a=1．

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、导函数的正负和原函数的增减性的关系．属基础题，考查运算求解能力．属于基础题．