Question

已知方程x²+（k-2）x+k²+1=0，求使方程有两个大于1的根的充要条件．

Answer 1

分析：先写出使两根都大于1的充要条件是

(k-2)2-4(k2+1)≥0 (x1-1)+(x2-1)＞0 (x1-1)(x2-1)＞0

；再结合韦达定理解不等式即可得到结论．

解答：解：设方程的两根为x₁，x₂，则使两根都大于1的充要条件是：

(k-2)2-4(k2+1)≥0 (x1-1)+(x2-1)＞0 (x1-1)(x2-1)＞0

即

- 4 3 ≤ k≤0 (x1+x2)-2＞0 x1x2-(x1+x2)+1＞0

                 …（6分）
由韦达定理，得

- 4 3 ≤k≤0 k＜0 k＜-1或k＞0

  解得 -

4

3

≤k＜-1…（10分）
所以方程x²+（k-2）x+k²+1=0有两个大于1的根的充要条件为-

4

3

≤k＜-1…（12分）

点评：本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系．解决这一类型题目一般都要结合韦达定理．