Question

下列四个命题中不正确的是（ ）
A．若动点P与定点A（-4，0）、B（4，0）连线PA、PB的斜率之积为定值，则动点P的轨迹为双曲线的一部分
B．设m，n∈R，常数a＞0，定义运算“*”：m*n=（m+n）²-（m-n）²，若x≥0，则动点的轨迹是抛物线的一部分
C．已知两圆A：（x+1）²+y²=1、圆B：（x-1）²+y²=25，动圆M与圆A外切、与圆B内切，则动圆的圆心M的轨迹是椭圆
D．已知A（7，0），B（-7，0），C（2，-12），椭圆过A，B两点且以C为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线

Answer 1

【答案】分析：利用直译法，求A选项中动点P的轨迹方程，进而判断表示的曲线；利用新定义运算，利用直译法求选项B中曲线的轨迹方程，进而判断轨迹图形；利用圆与圆的位置关系，利用定义法判断选项C中动点的轨迹；利用椭圆定义，由定义法判断D中动点的轨迹即可
解答：解：A：设P（x，y），因为直线PA、PB的斜率存在，所以x≠±4，直线PA、PB的斜率分别是k₁=，k₂=，∴×=，化简得9y²=4x²-64，
即（x≠±4），∴动点P的轨迹为双曲线的一部分，A正确；
B：∵m*n=（m+n）²-（m-n）²，∴==，设P（x，y），则y=，即y²=4ax（x≥0，y≥0），即动点的轨迹是抛物线的一部分，B正确；
C：由题意可知，动圆M与定圆A相外切与定圆B相内切
∴MA=r+1，MB=5-r
∴MA+MB=6＞AB=2
∴动圆圆心M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，C正确；
D设此椭圆的另一焦点的坐标D （x，y），
∵椭圆过A、B两点，则 CA+DA=CB+DB，
∴15+DA=13+DB，∴DB-DA=2＜AB，
∴椭圆的另一焦点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线一支，D错误
故选 D
点评：本题综合考查了求动点轨迹的两种方法：直译法和定义法，考查了圆、椭圆、抛物线、双曲线的定义，椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，有一定难度