Question

13．已知：数列{a_n}的前n项和为S_n，且2a_n-2ⁿ=S_n，
（1）求证：数列{a_n-n•2^n-1}是等比数列；
（2）求：数列{a_n}的通项公式；
（3）若数列{b_n}中b_n=$\frac{{（{n^2}+19）•{2^n}}}{a_n}$，求：b_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）由2a_n-2ⁿ=S_n，得出$2{a_{n+1}}-{2^{n+1}}={S_{n+1}}$，两式相减得出递推公式，计算a_n+1-（n+1）•2ⁿ整理即可得出a_n+1-（n+1）•2ⁿ=$2（{{a_n}-n•{2^{n-1}}}）$；
（2）由（1）的结果得出{a_n-n•2^n-1}的通项公式，从而得出a_n；
（3）求出b_n，计算b_n+1-b_n，得出{b_n}的单调性，从而确定{b_n}的最小项．

解答 解：（1）证明：∵$2{a_n}-{2^n}={S_n}$，∴$2{a_{n+1}}-{2^{n+1}}={S_{n+1}}$．
两式相减得${a_{n+1}}=2{a_n}+{2^n}$，
∴${a_{n+1}}-（{n+1}）•{2^n}=2{a_n}+{2^n}-（{n+1}）•{2^n}$=$2（{{a_n}-n•{2^{n-1}}}）$，
∵${a_1}-1•{2^{n-1}}=1≠0$，
∴数列$\left\{{{a_n}-n•{2^{n-1}}}\right\}$是首项为1，公比为2的等比数列．
（2）由（1）知${a_n}-n•{2^{n-1}}={2^{n-1}}$，即${a_n}=（{n+1}）{2^{n-1}}$．
（3）${b_n}=\frac{{（{n^2}+19）•{2^n}}}{a_n}=\frac{{（{n^2}+19）•{2^n}}}{{（{n+1}）{2^{n-1}}}}=2×\frac{{{n^2}+19}}{n+1}$，
∴b_n+1-b_n=2（$\frac{（n+1）^{2}+19}{n+2}$-$\frac{{n}^{2}+19}{n+1}$）=$\frac{2（{n}^{2}+3n-18）}{（n+1）（n+2）}$．
令n²+3n-18≥0解得n≥3，令n²+3n-18＜0解得n≤2．
∴n=1，2，3时，数列递减；n=4，5，6，…时，数列递增；
∵${b_3}=2×\frac{{{3^2}+19}}{3+1}=14$，${b_4}=2×\frac{{{4^2}+19}}{4+1}=14$，
∴当n=3或n=4时，（b_n）_min=14．

点评 本题考查了数列的递推式及通项公式的求解，等比关系的判断，属于中档题．