Question

已知圆C₁的方程为x²+（y-2）²=1，定直线l的方程为y=-1．动圆C与圆C₁外切，且与直线l相切．
（1）求动圆圆心C的轨迹M的方程；
（2）直线l′与轨迹M相切于第一象限的点P，过点P作直线l′的垂线恰好经过点A（0，6），并交轨迹M于异于点P的点Q，求直线PQ的方程及弦|PQ|的长．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线和圆的方程的应用

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设动圆圆心C的坐标为（x，y），动圆半径为R，利用动圆C与圆C₁外切，且与直线l相切，可建立方程，化简，即可得到动圆圆心C的轨迹M的方程；
（ II）确定点P坐标，直线PQ的方程与抛物线方程联立，即可求出弦|PQ|的长．

解答： 解：（1）设动圆圆心C的坐标为（x，y），动圆半径为R，
则|CC1|=

x2+(y-2)2

=R+1，且|y+1|=R---（2分）
可得 

x2+(y-2)2

=|y+1|+1．
由于圆C₁在直线l的上方，所以动圆C的圆心C应该在直线l的上方，所以有y+1＞0，
从而得

x2+(y-2)2

=y+2，整理得x²=8y，即为动圆圆心C的轨迹M的方程．---（6分）
（2）如图示，设点P的坐标为(x0，

x02

8

)，则切线的斜率为

x0

4

，可得直线PQ的斜率为-

4

x0

，
所以直线PQ的方程为y-

x02

8

=-

4

x0

(x-x0)．
由于该直线经过点A（0，6），所以有6-

x02

8

=4，得x02=16．
因为点P在第一象限，
所以x₀=4，点P坐标为（4，2），直线PQ的方程为x+y-6=0．---（10分）
把直线PQ的方程与轨迹M的方程联立得x²+8x-48=0，解得x=-12或4，
∴|PQ|=

1+k2

|x2-x1|=16

2

---（13分）

点评：本题考查轨迹方程，考查曲线的切线，考查直线与抛物线的位置关系，确定P、Q的坐标是关键．