Question

13．设函数f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$+1的值域为[a，b]，则a+b=2．

Answer 1

分析 对x=0，x＜0和x＞0分类求解函数的值域，从而得到a，b的值，则答案可求．

解答 解：当x=0时，f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$+1=1；
当x＞0时，f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$+1=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}+1$∈（1，$\frac{3}{2}$]；
当x＜0时，f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$+1=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}+1$=$\frac{1}{-[（-x）+\frac{1}{-x}]}+1$∈[$\frac{1}{2}$，1）．
∴函数f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$+1的值域为[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]，
即a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{3}{2}$．
∴a+b=$\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2$．
故答案为：2．

点评 本题考查函数值域的求法，考查分类讨论的数学思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．